Bất đẳng thức Svac-xơ (bất đẳng thức cộng mẫu số)

Đây là bài thứ 16 of 16 trong chuyên đề Bất đẳng thức

Bất đẳng thức Svac-xơ hay bất đẳng thức cộng mẫu số là bất đẳng thức được sử dụng khá nhiều trong chứng minh BĐT có liên quan tới phân số.

Bài viết này hướng dẫn cách chứng minh BĐT Svac-xơ dựa vào bất đẳng thức Bunhiacopxki.

Chứng minh bất đẳng thức cộng mẫu số – Svac-xơ

Cho $\displaystyle\mathrm{b}_{1}, \mathrm{~b}_{2}, \ldots \mathrm{bn}>0$

.Khi đó ta có

$\displaystyle\frac{a_{1}^{2}}{b_{1}}+\frac{a_{2}^{2}}{b_{2}}+\ldots+\frac{a^{2}_{n}}{b_{n}} \geq \frac{\left(a_{1}+a_{2}+\ldots+a_{n}\right)^{2}}{b_{1}+b_{2}+\ldots+b_{n}}$

Dấu “=” xảy ra khi $\displaystyle\frac{a_{1}}{b_{1}}=\frac{a_{2}}{b_{2}}=\ldots=\frac{a_{n}}{b_{n}}$

– Chứng minh:

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki cho 2 bộ số $\displaystyle\left(\frac{a_{1}}{\sqrt{b_{1}}}+\frac{a_{2}}{\sqrt{b_{2}}}+\ldots+\frac{a_{n}}{\sqrt{b_{n}}}\right)$ và

$\displaystyle\left(\sqrt{b_{1}}+\sqrt{b_{2}}+\ldots+\sqrt{b_{n}}\right)$ . Ta có:

$\displaystyle\left(\frac{a_{1}^{2}}{b_{1}}+\frac{a_{2}^{2}}{b_{2}}+\ldots+\frac{a^{2} n}{b_{n}}\right)\left(b_{1}+b_{2}+\ldots+b_{n}\right) \geq\left(a_{1}+a_{2}+\ldots+a_{n}\right)^{2}$

$\displaystyle\Rightarrow \frac{a_{1}^{2}}{b_{1}}+\frac{a_{2}^{2}}{b_{2}}+\ldots+\frac{a^{2} n}{b_{n}} \geq \frac{\left(a_{1}+a_{2}+\ldots+a_{n}\right)^{2}}{b_{1}+b_{2}+\ldots+b_{n}} .$ (điều phải chứng minh).

Ví dụ áp dụng BĐT Svac-xơ

Ví dụ 1: Cho $a, b, c>0, a+b+c=3$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của :

$P=\frac{a^{2}}{b}+\frac{b^{2}}{c}+\frac{c^{2}}{a}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$

Giải:

Áp dụng bất đẳng thức Svac-xơ ta có:

$\displaystyle P=\frac{a^{2}}{b}+\frac{b^{2}}{c}+\frac{c^{2}}{a} \geq \frac{(a+b+c)^{2}}{a+b+c}=a+b+c=3$

$\displaystyle\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \geq \frac{(1+1+1)^{2}}{a+b+c}=\frac{9}{a+b+c}=3$

Vậy $P \geq 3+3=6$

Dấu “=” xảy ra khi $a=b=c=1$

Ví dụ 2: Cho các số thực dương. Chứng minh rằng:

$\displaystyle\frac{1}{a}+\frac{4}{b}+\frac{9}{c} \geq \frac{36}{a+b+c}$

Giải:

Áp dụng bất đẳng thức Svac-xơ ta có:

$\displaystyle\frac{1}{a}+\frac{4}{b}+\frac{9}{c}=\frac{1^{2}}{a}+\frac{2^{2}}{b}+\frac{3^{2}}{c} \geq \frac{(1+2+3)^{2}}{a+b+c}=\frac{36}{a+b+c}(D P C M)$