Sử dụng biểu thức phụ để tìm cực trị của biểu thức

Đây là bài thứ 9 of 16 trong chuyên đề Bất đẳng thức

Khi tìm cực trị của biểu thức gặp khó khăn ta có thể nghĩ tới việc sử dụng biểu thức phụ, khi phân tích biểu thức phụ dễ hơn.

Cách làm như sau:

Để tìm cực trị của biểu thức $A$
với $A > 0$ , ta có thể xét cực trị của biểu thức:
$\displaystyle\frac{1}{A},-\mathrm{A}, \mathrm{k} \mathrm{A}, \mathrm{k}+\mathrm{A},|\mathrm{A}|, \mathrm{A}^{2}$
( $k$ là hằng số)

Xem các ví dụ dưới đây để hiểu thêm về cách sử dụng biểu thức phụ để tìm GTNN, GTLN.

Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất của $A=\frac{x^{2}}{x^{4}+x^{2}+1}$

Giải :
a) Xét $\displaystyle x=0$ ⇒ $A=0$ giá trị này không phải là GTLN của $\displaystyle\mathrm{A}$ vì với $\displaystyle\mathrm{x} \neq 0$ ta có $A>0$

b) Xét $\displaystyle x\ne 0$ khi đó $\displaystyle {{\text{A}}_{{\max }}}\Leftrightarrow {{\text{P}}_{{\min }}}$

với cách đặt trên ta có: $\displaystyle P=\frac{x^{4}+x^{2}+1}{x^{2}}=x^{2}+\frac{1}{x^{2}}+1$

Ta có:

$\displaystyle x^{2}+\frac{1}{x^{2}} \geq 2 \sqrt{x^{2} \cdot \frac{1}{x^{2}}}=2$ (theo Cô si)

$\displaystyle\Rightarrow \mathrm{P} \geq 2+1=3 \Rightarrow \mathrm{P}_{\min }=3 \Leftrightarrow \mathrm{x}=1$

Do đó : $\displaystyle A_{\max }=\frac{1}{3} \Leftrightarrow x=1$

Ví dụ 2: Tìm GTNN của $\displaystyle B=\frac{-x}{(x+2002)^{2}}$ với $x>0$ $\displaystyle\mathbf{a}$

Đặt $\displaystyle P_{1}=-B$ như vậy $\displaystyle P_{\operatorname{lmax}} \Leftrightarrow \overline{M_{\min }}$

Ta có $: P_{1}=\frac{x}{(x+2002)^{2}}$ vói $x>0 \Rightarrow P>0$

Đặt $\displaystyle\mathrm{P}_{2}=\frac{1}{P_{1}}>0$ vói $\displaystyle\mathrm{x}>0$ khi đó $\displaystyle\mathrm{P}_{2} \mathrm{Min} \Leftrightarrow \mathrm{P}_{1}$ Max

$\displaystyle\mathrm{P}_{2}=\frac{(x+2002)^{2}}{x}=\frac{x^{2}+2 x \cdot 2002+2002^{2}}{x}$

$\displaystyle\mathrm{P}_{2}=\frac{x^{2}-2 x \cdot 2002+2002^{2}+4 x \cdot 2002}{x}$

$\displaystyle\mathrm{P}_{2}=\frac{(x-2002)^{2}}{x}+4.2002 \geq 4.2002=8008$

$\displaystyle\left(\right.$ do $\displaystyle\left.\frac{(x-2002)^{2}}{x} \geq 0 \quad \forall x>0\right)$

$\displaystyle\Rightarrow \mathrm{P}_{2} \mathrm{Min}=8008 \Leftrightarrow \mathrm{x}=2002$

$\displaystyle\Rightarrow \mathrm{P}_{1} \mathrm{Max}=\frac{1}{8008} \Leftrightarrow \mathrm{x}=2002$

$\displaystyle\Leftrightarrow B_{\mathrm{Min}}=-\frac{1}{8008} \Leftrightarrow \mathrm{x}=2002$

Vậy $\displaystyle\mathrm{B}_{\mathrm{Min}}=-\frac{1}{8008} \Leftrightarrow \mathrm{x}=2002$

Ví dụ 3: Tìm GTLN của $C=\sqrt{5 a+4 b}+\sqrt{5 b+4 c}+\sqrt{5 c+4 a}$

Giải:

Do $a, b, c>0 \Rightarrow C>0$

Đặt : $\displaystyle\mathrm{P}=\mathrm{C}^{2}$ khi đó $\displaystyle\sqrt{P_{\mathrm{Mar}}} \Leftrightarrow \mathrm{C}_{\mathrm{Max}}$

Ta có : $\displaystyle P=(\sqrt{5 a+4 b}+\sqrt{5 b+4 c}+\sqrt{5 c+4 a})^{2}$

$\displaystyle\Leftrightarrow \quad P \leq\left(1^{2}+1^{2}+1^{2}\right)(5 a+4 b+5 b+4 c+5 c+4 a)$ theo Bunhiacôpxki

$\displaystyle\mathrm{P} \leq 3.9(\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c})=81 \quad$ do $\displaystyle\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}=3$

$\displaystyle\Rightarrow P_{\text {Max }}=81 \Leftrightarrow a=b=c=1$

$\displaystyle\Leftrightarrow C_{\mathrm{Mar}}^{2}=81 \Leftrightarrow \mathrm{a}=\mathrm{b}=\mathrm{c}=1$

$\displaystyle\Leftrightarrow C_{M a x}=9 \Leftrightarrow \Leftrightarrow a=b=c=1$

Vậy $\displaystyle\mathrm{C}_{\mathrm{Max}}=9 \Leftrightarrow \Leftrightarrow \mathrm{a}=\mathrm{b}=\mathrm{c}=1$

Ví dụ 4: Cho $x, y, z, t>0$ . Tìm GTNN của

$\displaystyle D=\frac{x}{y+t}+\frac{y+t}{x}+\frac{y}{t+x}+\frac{t+x}{y}+\frac{t}{x+y}+\frac{x+y}{t}$
Giải:

Đặt $\displaystyle P=2 D$ ta có :

$\displaystyle P=\frac{2 x}{y+t}+\frac{2(y+t)}{x}+\frac{2 y}{t+x}+\frac{2(t+x)}{y}+\frac{2 t}{x+y}+\frac{2(x+y)}{t}$

$\displaystyle P=\left(\frac{2 x}{y+t}+\frac{y+t}{2 x}\right)+\left(\frac{2 y}{t+x}+\frac{t+x}{2 y}\right)+\left(\frac{2 t}{x+y}+\frac{x+y}{2 t}\right)+\frac{3}{2}\left(\frac{y+t}{x}+\frac{t+x}{y}+\frac{x+t}{t}\right)$

$\displaystyle\mathrm{P} \geq 2+2+2+\frac{3}{6} \cdot 6$ (theo cô si)

$\displaystyle P \geq 15 \Rightarrow P_{M i n}=15 \Leftrightarrow x=y=t>0$

$\displaystyle\Rightarrow D_{M i n}=\frac{15}{2} \Leftrightarrow x=y=t$

Vậy $\displaystyle D_{M i n}=\frac{15}{2} \Leftrightarrow x=y=t$

Ví dụ 5: Cho $\displaystyle\mathrm{x}, \mathrm{y}>0$ và $\displaystyle 7 \mathrm{x}+9 \mathrm{y}=63 \quad$ .

Tìm GTLN của $\displaystyle\mathrm{E}=\mathrm{x} . \mathrm{y}$

Giải:

Đặt : $\displaystyle\quad \mathrm{P}=63 . \mathrm{E}$ ta có :

$\displaystyle \text{P}=63xy=7x.9y\le {{\left( {\frac{{7x+9y}}{2}} \right)}^{2}}$ (theo Cô si)

$\displaystyle P \leq\left(\frac{63}{2}\right)^{2}=\frac{3969}{4} \Rightarrow P_{\mathrm{Max}}=\frac{3969}{4}$

Dấu “=” xảy ra $\displaystyle\Leftrightarrow 7 \mathrm{x}=9 \mathrm{y}=\frac{63}{2} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x=\frac{9}{2} \\ y=\frac{7}{2}\end{array}\right.$

$\displaystyle\Rightarrow \mathrm{E}_{\mathrm{Max}}=\frac{3969}{4}: 63=\frac{63}{4} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x=4,5 \\ y=3,5\end{array}\right.$

Ví dụ 6: Cho $x^{2}+y^{2}=52 \quad$ , Tìm GTLN của $F=2 x+3 y$

Giải:

Xét : $\displaystyle\mathrm{P}_{1}=|\mathrm{F}|$ khi đó $\displaystyle\mathrm{P}_{1}=|2 \mathrm{x}+3 \mathrm{y}|$

Đặt : $\displaystyle\mathrm{P}_{2}=P_{1}^{2}$ khi đó $\displaystyle\mathrm{P}_{2}=(2 \mathrm{x}+3 \mathrm{y})^{2}$

Theo Bunhiacôpxky : $\displaystyle P_{2} \leq(4+9)\left(x^{2}+y^{2}\right)=13.13 .4$

$\displaystyle\Rightarrow \mathrm{P}_{2 \mathrm{Max}}=13.13 .4 \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x=4 \\ y=6\end{array}\right.$

hoặc $\displaystyle\left\{\begin{array}{l}x=-4 \\ y=-6\end{array}\right.$

$\displaystyle\Rightarrow P_{1} \operatorname{Max}=26$

Do $\displaystyle\mathrm{F} \leq|\mathrm{F}|=\mathrm{P}$

$\displaystyle\Rightarrow \mathrm{F}_{\mathrm{Max}}=26 \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x=4 \\ y=6\end{array} \cdot\right.$

Vậy $\displaystyle\mathrm{F}_{\mathrm{Max}}=26 \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x=4 \\ y=6\end{array}\right.$

Ví dụ 7: Cho $x, y>0 .$ Tìm GTNN của $\displaystyle G=\frac{x^{4}}{y^{4}}+\frac{y^{4}}{x^{4}}-\frac{x^{2}}{y^{2}}-\frac{y^{2}}{x^{2}}+\frac{x}{y}+\frac{y}{x}$

Giải:

Đặt : $\displaystyle P=G-2$ ta có :

$\displaystyle\mathrm{P}=\frac{x^{4}}{y^{4}}+\frac{y^{4}}{x^{4}}-\frac{x^{2}}{y^{2}}-\frac{y^{2}}{x^{2}}+\frac{x}{y}+\frac{y}{x}-2$

$\displaystyle\mathrm{P}=\left(\frac{x^{4}}{y^{4}}-2 \cdot \frac{x^{2}}{y^{2}}+1\right)+\left(\frac{y^{4}}{x^{4}}-2 \cdot \frac{y^{2}}{x^{2}}+1\right)+\left(\frac{x^{2}}{y^{2}}-2 \cdot \frac{x}{y} \cdot \frac{y}{x}+\frac{y^{2}}{x^{2}}\right)+\left(\frac{x}{y}-2+\frac{y}{x}\right)$

$\displaystyle\mathrm{P}=\left(\frac{x^{2}}{y^{2}}-1\right)^{2}+\left(\frac{y^{2}}{x^{2}}-1\right)^{2}+\left(\frac{x}{y}-\frac{y}{x}\right)^{2}+\frac{(x-y)^{2}}{x y} \geq 0$