Một số bài toán về công việc chung nâng cao có lời giải

Đây là bài thứ 14 of 28 trong chuyên đề Toán nâng cao lớp 5
Toán nâng cao lớp 5

Dạng toán công việc chung trong chương trình nâng cao lớp 4, 5 có rất nhiều bài khó. Muốn làm được dạng bài này các em phải biết cách quy ước.

Cách làm: Quy ước công việc cần phải hoàn thành là 1 đơn vị, dựa vào dữ kiện đề bài dần tìm ra đáp số.

Theo dõi những ví dụ kèm phân tích, lời giải dưới đây để hiểu hơn về phương pháp quy ước.

Dạng toán công việc chung

Ví dụ 1: Hai người cùng làm một công việc thì sẽ hoàn thành công việc đó sau 6 giờ. Nếu người thứ nhất làm một mình công việc đó thì sẽ hoàn thành sau 10 giờ. Hỏi nếu người thứ hai làm một mình thì sau bao lâu sẽ hoàn thành công việc đó ?

Phân tích: Muốn biết người thứ hai làm một mình công việc đó thì sẽ hoàn thành trong mấy giờ chúng ta sẽ hướng dẫn học sinh tìm xem 1 giờ người thứ hai làm được mấy phần công việc ? Từ đó học sinh sẽ tìm được số giờ người thứ hai cần để hoàn thành công việc đó bằng cách lấy 1 phần công việc đã được quy ước chia cho số phần công việc mà người thứ hai làm trong 1 giờ.

Giải:

1 giờ cả hai người làm được số phần công việc là:

1 : 6 = 1/6 (công việc)

1 giờ người thứ nhất làm được số phần công việc là:

1 : 10 = 1/10 (công việc)

1 giờ người thứ hai làm được số phần công việc là:

1/6 – 1/10 = 1/15 (công việc)

Người thứ hai hoàn thành công việc đó trong số giờ là:

1 : 1/15 = 15 (giờ)

Đáp số: 15 giờ

Ví dụ 2: Một cái bể không có nước, nếu người ta chỉ mở vòi thứ nhất thì sau 5 giờ sẽ đầy bể, nếu chỉ mở vòi thứ hai thì sau 10 giờ sẽ đầy bể. Hỏi nếu mở cả hai vòi cùng một lúc thì sau bao lâu cái bể đó sẽ đầy nước ?

Phân tích: Muốn biết cả hai vòi mở cùng một lúc sau bao lâu sẽ đầy bể thì tương tự như bài 1 chúng ta hướng dẫn học sinh tính xem 1 giờ cả hai vòi chảy được mấy phần bể? Từ đó học sinh sẽ tìm được số giờ để cả 2 vòi chảy đầy bể.

Giải:

1 giờ vòi thứ nhất chảy được số phần bể là:

1 : 5 = 1/5 (bể)

1 giờ vòi thứ hai chảy được số phần bể là:

1 : 10 = 1/10 (bể)

1 giờ cả hai vòi chảy được số phần bể là:

1/5 + 1/10 = 3/10 (bể)

Sau bao lâu cả hai vòi cùng chảy đầy bể nước đó là:

1 :  3/10 = 10/3 (giờ)

Đáp số: 10/3 giờ

Ví dụ 3: Để đào xong một đoạn đường 3 người phải làm trong một tuần lễ. Nếu chỉ có người thứ nhất đào thì sau 21 ngày mới hoàn thành công việc còn nếu chỉ có người thứ hai đào thì sau 24 ngày sẽ hoàn thành công việc. Hỏi nếu chỉ có người thứ ba đào thì sau bao lâu mới đào xong đoạn đường đó ?

Phân tích: Để biết sau bao lâu người thứ ba đào xong đoạn đường đó chúng ta hướng dẫn học sinh tính 1 ngày người thứ ba đào được bao nhiêu phần đoạn đường. Từ đó học sinh sẽ tính được số ngày mà người thứ ba cần để đào xong đoạn đường.

Giải:

Ta có: 1 tuần lễ = 7 ngày

1 ngày cả 3 người đào được số phần đường là:

1 : 7 = 1/7 (đoạn đường)

1 ngày người thứ nhất đào được số phần đường là:

1 : 21 = 1/21 (đoạn đường)

1 ngày người thứ hai đào được số phần đường là:

1 : 24 = 1/24 (đoạn đường)

1 ngày người thứ ba đào được số phần đường là:

1/7 – (1/21 + 1/24) = 3/56 (đoạn đường)

Nếu làm một mình người thứ ba sẽ đào xong đoạn đường đó sau số ngày là:

1 :  3/56 = 56/3 (ngày)

Đáp số: 56/3  ngày

Ví dụ 4: Lớp 5E có 4 tổ. Để làm vệ sinh khu vực tự quản của lớp cô Thuỷ đã phân công như sau: Thứ 2 tổ 1; 2; 3 cùng làm và cô thấy sau 12 phút các bạn đã hoàn thành công việc; Thứ 3 tổ 2; 3; 4 cùng làm và sau 20 phút các bạn đã hoàn thành công việc; Thứ 4 tổ 1; 3; 4 cùng làm và sau 15 phút các bạn đã hoàn thành công việc. Hôm nay thứ 5 nhà trường có đón đoàn kiểm tra của phòng GD&ĐT nên cô Thuỷ muốn khu vực vệ sinh tự quản của lớp được sạch sẽ và hoàn thành sớm hơn mọi ngày nên cô quyết định điều cả 4 tổ cùng xuống làm. Vậy theo em sau bao lâu thì lớp 5E sẽ hoàn thành công việc vệ sinh của mình ?

Phân tích: Để tính được lớp 5E hoàn thành công việc vệ sinh sau bao lâu chúng ta hướng dẫn học sinh tính xem trong 1 phút cả 4 tổ sẽ làm được mấy phần công việc từ đó học sinh sẽ dễ dàng tính được thời gian theo yêu cầu của bài tập.

Giải:

1 phút tổ 1; 2; 3 làm được số phần khu vực vệ sinh tự quản là:

1 : 12 = 1/12 (khu vực tự quản)

1 phút tổ 2; 3; 4 làm được số phần khu vực vệ sinh tự quản là:

1 : 20 = 1/20 (khu vực tự quản)

1 phút tổ 1; 3; 4 làm được số phần khu vực vệ sinh tự quản là:

1 : 15 = 1/15 (khu vực tự quản)

1 phút cả 4 tổ làm được số phần khu vực vệ sinh tự quản là:

(1/12 + 1/20 + 1/15) : 2 = 1/10 (khu vực tự quản)

Lớp 5E  sẽ hoàn thành công tác vệ sinh khu vực tự quản sau bao lâu là:

1 :  1/10 = 10 (phút)

Đáp số: 10 phút

Ví dụ 5: Mẹ mua cho hai chị em Lan một gói bánh. Nếu chỉ mình Lan ăn thì sau 10 ngày mới hết gói bánh đó còn nếu chỉ mình em của Lan ăn thì sau 15 ngày mới hết gói bánh đó. Nhưng vì Lan có việc phải về bà ngoại nên em của Lan đã ăn trước gói bánh đó trong 5 ngày, sau đó Lan về và hai chị em cùng ăn. Em của Lan có hỏi chị: Chị ơi ! Bây giờ chị đã về rồi hai chị em mình cùng ăn tiếp gói bánh mẹ mua cho nhé, nhưng nếu ăn cùng thì sau mấy ngày nữa sẽ hết bánh hả chị ? Em hãy giúp Lan trả lời cho em của Lan nhé !

Phân tích: Để trả lời câu hỏi đó cho em của Lan chúng ta cần hướng dẫn học sinh tính xem khi Lan từ nhà bà ngoại về thì số bánh còn lại chưa ăn là bao nhiêu phần? Sau đó muốn tính xem hai chị em sẽ ăn hết gói bánh đó trong bao nhiêu ngày nữa thì chúng ta lấy số phần bánh còn lại chưa ăn chia cho tổng số phần bánh mà hai chị em ăn hết trong một ngày.

Giải:

1 ngày Lan ăn hết số phần gói bánh là:

1 : 10 = 1/10 (gói bánh)

1 ngày em của Lan ăn hết số phần gói bánh là:

1 : 15 = 1/15 (gói bánh)

1 ngày cả hai chị em ăn hết số phần gói bánh là:

1/10 +  1/15 = 1/6(gói bánh)

Sau 5 ngày em của Lan ăn hết số phần gói bánh là:

1/15 x 5 = 1/3 (gói bánh)

Số phần gói bánh còn lại khi Lan từ nhà bà ngoại về là:

1 –  1/3 = 2/3 (gói bánh)

Hai chị em Lan ăn hết gói bánh đó sau mấy ngày nữa là:

2/3 :  1/6 = 4 (ngày)

Đáp số: 4 ngày

Ví dụ 6: Để làm xong một bộ bàn ghế nếu chỉ có người thứ nhất làm thì trong 15 ngày sẽ hoàn thành còn chỉ có người thứ hai làm thì trong 20 ngày mới hoàn thành. Lúc đầu chỉ có người thứ nhất làm, sau 8 ngày thì người thứ nhất có việc bận phải nghỉ làm nên người thứ hai đã đến làm thay phần việc còn lại. Hỏi sau bao lâu nữa thì người thứ hai mới hoàn thành bộ bàn ghế đó ?

Phân tích:  Tương tự bài 4, chúng ta cần hướng dần học sinh tìm được số phần việc còn lại mà người thứ hai phải làm thay là bao nhiêu phần ? Từ đó học sinh sẽ tính được số ngày mà người thứ hai cần để hoàn thành bộ bàn ghế đó.

Giải:

1 ngày người thứ nhất làm được số phần công việc là:

1 : 15 = 1/15 (bộ bàn ghế)

1 ngày người thứ hai làm được số phần công việc là:

1 : 20 = 1/20 (bộ bàn ghế)

8 ngày người thứ nhất làm được số phần công việc là:

1/15 x 8 = 8/15 (bộ bàn ghế)

Số phần công việc còn lại mà người thứ hai phải hoàn thành là:

1 – 8/15 = 7/15 (bộ bàn ghế)

Sau bao lâu người thứ hai làm xong bộ bàn ghế đó là:

7/15 :  1/20 = 28/3 (ngày)

Đáp số: 28/3 ngày

Ví dụ 7: Để bơm cạn nước của một cái hồ người ta dùng hai máy bơm cùng bơm. Sau khi bơm được 2 giờ thì máy bơm thứ nhất bị hỏng chỉ còn lại máy bơm thứ 2 tiếp tục bơm. Hỏi sau bao lâu nữa máy bơm thứ hai sẽ bơm cạn nước ở trong hồ biết rằng nếu chỉ dùng một mình máy bơm thứ nhất thì sau 7 giờ hồ sẽ cạn nước còn nếu chỉ dùng máy bơm thứ hai thì sau 5 giờ hồ mới cạn nước ?

Phân tích: Muốn tính được sau bao lâu nữa máy bơm thứ hai sẽ bơm cạn nước ở trong hồ thì chúng ta phải tính được số phần nước còn lại sau khi hai máy đã cùng bơm trong 2 giờ. Từ đó học sinh sẽ tính được thời gian mà máy thứ hai cần để bơm hết số nước còn lại trong hồ.

Giải:

1 giờ máy bơm thứ nhất bơm được số phần hồ nước là:

1 : 7 = 1/7 (hồ nước)

1 giờ máy bơm thứ hai bơm được số phần hồ nước là:

1 : 5 = 1/5 (hồ nước)

1 giờ cả hai máy bơm được số phần hồ nước là:

1/7+ 1/5 = 12/35 (hồ nước)

2 giờ cả hai máy bơm được số phần hồ nước là:

2 x 12/35 = 24/35 (hồ nước)

Số phần hồ nước còn lại mà máy bơm thứ hai phải bơm hết là:

1 – 24/35 = 11/35 (hồ nước)

Thời gian cần có để máy bơm thứ hai bơm cạn phần nước còn lại trong hồ là:

11/35 :  1/5 = 11/7 (giờ)

Đáp số: 11/7 (giờ)

Ví dụ 8:  Để sơn một ngôi nhà ba người cùng làm thì sau 10 ngày sẽ xong. Nếu chỉ có người thứ nhất làm thì sau 25 ngày sẽ xong còn nếu chỉ có người thứ hai làm thì sau 30 ngày sẽ xong. Nhưng thực tế người thứ ba đã đến làm trước 5 ngày rồi nghỉ sau đó người thứ nhất và thứ hai đã cùng đến làm. Hỏi sau bao lâu thì hai người đó sẽ sơn xong ngôi nhà ?

Phân tích: Để tính được sau bao lâu người thứ nhất và người thứ hai sơn xong ngôi nhà đó thì chúng ta cần tính được số phần công việc còn lại sau khi người thứ ba đã làm trong 5 ngày là bao nhiêu. Sau đó lấy số phần công việc còn lại đó chia cho tổng số phần công việc mà người thứ nhất và người thứ hai làm được trong một ngày.

Giải:

1 ngày cả ba người làm được số phần công việc là:

1 : 10 = 1/10 (công việc)

1 ngày người thứ nhất làm được số phần công việc là:

1 : 25 = 1/25 (công việc)

1 ngày người thứ hai làm được số phần công việc là:

1 : 30 = 1/30 (công việc)

1 ngày người thứ nhất và người thứ hai làm được số phần công việc là:

1/25 + 1/30 = 11/150 (công việc)

1 ngày người thứ ba làm được số phần công việc là:

1/10 – 11/150  = 2/75 (công việc)

5 ngày người thứ ba làm được số phần công việc là:

2/75 x 5 = 2/15 (công việc)

Số phần công việc còn lại mà người thứ nhất và người thứ hai phải làm là:

1 – 2/15 = 13/15 (công việc)

Sau bao lâu người thứ nhất và người thứ hai sơn xong ngôi nhà đó là:

13/15 : 11/150 = 130/11 (ngày)

Đáp số: 130/11 ngày

Ví dụ 9:  Hai người cùng làm một công việc thì sau 6 ngày sẽ xong. Hai người cùng làm được 2 ngày thì người thứ nhất nghỉ, người thứ hai phải làm tiếp trong 10 ngày nữa mới xong phần công việc đó. Hỏi nếu làm một mình thì mỗi người phải mất bao nhiêu ngày mới làm xong công việc đó ?

Phân tích:  Ngược lại với các bài trên muốn tìm được thời gian mà mỗi người làm một mình để hoàn thành công việc đó trước hết chúng ta hướng dẫn học sinh phải tính được số phần công việc còn lại mà người thứ hai làm trong 10 ngày là bao nhiêu phần? Từ đó học sinh sẽ tính được số ngày mà người thứ hai làm một mình để hoàn thành công việc đó. Khi biết được số ngày người thứ hai học sinh sẽ tính được số ngày của người thứ nhất cần có để hoàn thành công việc đó khi làm một mình.

Giải:

1 ngày cả hai người làm được số phần công việc là:

1 : 6 = 1/6 (công việc)

2 ngày cả hai người làm được số phần công việc là:

1/6 x 2 = 1/3 (công việc)

Số phần công việc còn lại mà người thứ hai làm trong 10 ngày là:

1 – 1/3 = 2/3 (công việc)

Nếu làm một mình thì người thứ hai hoàn thành công việc đó trong số ngày là:

10 : 2/3 = 15 (ngày)

1 ngày người thứ hai làm được số phần công việc là:

1 : 15 = 1/15 (công việc)

1 ngày người thứ nhất sẽ làm được số phần công việc là:

1/6 – 1/15 = 1/10 (công việc)

Người thứ hai hoàn thành công việc đó nếu làm một mình trong số ngày là:

1 : 1/10 = 10 (ngày)

Đáp số: 10 ngày

Bài tập tự giải

Bài 1: Một đội xe có 3 chiếc xe. Để vận chuyển hết số gạo có trong kho thì cả 3 xe phải chạy trong 10 ngày. Nếu chỉ có xe thứ nhất vận chuyển thì sau 25 ngày mới chuyển hết số gạo trong kho còn nếu chỉ có xe thứ hai vận chuyển thì sau 21 ngày xe đó mới chuyển hết số gạo trong kho. Hỏi nếu mình xe thứ ba vận chuyển thì sau bao nhiêu ngày sẽ hoàn thành nhiệm vụ ?

Bài 2: Có một cái bể có hai cái vòi đặt ở đáy bể. Nếu bể không có nước người ta mở vòi thứ nhất chảy vào thì sau 4 giờ sẽ đầy bể còn nếu bể đó đầy nước người ta mở vòi thứ hai cho chảy ra thì sau 6 giờ bể sẽ cạn nước. Hỏi nếu như bể cạn người ta mở đồng thời hai vòi cùng một lúc thì sau bao lâu bể sẽ đầy nước.

Bài 3: Một chiếc xe tải khởi hành từ A lúc 6 giờ và đến B lúc 10 giờ 40 phút. Một chiếc xe con khởi hành từ B lúc 6 giờ 20 phút và đến A lúc 9 giờ 40 phút.  Hỏi hai xe gặp nhau lúc mấy giờ ?

Cùng chuyên đề:

<< Cách so sánh 2 phân số bất kỳ qua các ví dụ20 bài toán hình học nâng cao lớp 5 >>

Kiến thức Tiểu học - Tags: