Dạng toán chuyển động của kim đồng hồ

Đây là bài thứ 2 of 28 trong chuyên đề Toán nâng cao lớp 5

Dạng toán chuyển động của kim đồng hồ là dạng toán khó và trừu tượng trong chương trình toán tiểu học, là dạng toán nâng cao dành cho HSG.

Để giúp học sinh phân biệt rạch ròi, nắm vững công thức và phương pháp giải một cách chính xác, nhanh nhạy tôi đã chia các bài toán “Chuyển động của hai kim đồng hồ” thành các dạng và cách giải cụ thể cho mỗi dạng như sau:

toán 9

Dạng 1: Hai kim trùng khít lên nhau

* Trường hợp 1: Khoảng cách giữa 2 kim lớn hơn 0

Bài toán: Bây giờ là 7 giờ. Hỏi sau ít nhất bao lâu kim phút lại trùng lên kim giờ ?

Phân tích: Kim phút và kim giờ chuyển động vòng tròn nên đây là dạng toán chuyển động cùng chiều đuổi nhau. Muốn biết được sau ít nhất bao lâu kim phút lại trùng lên kim giờ ? Ta hướng dẫn học sinh theo các bước cụ thể sau:

– Giáo viên cho học sinh quan sát vị trí của kim phút và kim giờ trên đồng hồ thật để trả lời câu hỏi:

(?) Vào lúc 7 giờ, kim phút và kim giờ nằm ở vị trí nào ?

(Kim phút chỉ số 12, kim giờ chỉ số 7)

(?)Khoảng cách giữa kim phút và kim giờ lúc đó là bao nhiêu ?

(7/12 vòng đồng hồ)

(?) Đến khi kim phút và kim giờ trùng khít lên nhau thì khoảng cách giữa hai kim là bao nhiêu ?

(Bằng 0)

(?) Lúc đó kim phút đã đi hơn kim giờ đoạn đường bằng bao nhiêu ?

(Lúc đó kim phút đã đi nhiều hơn kim giờ một đoạn đường đúng bằng khoảng cách giữa hai kim đồng hồ lúc 7 giờ đúng, nghĩa là bằng 7/12 vòng đồng hồ).

(?) Mỗi giờ kim phút và kim giờ đi được bao nhiêu ?

(Cứ mỗi giờ kim phút đi được 1 vòng đồng hồ còn kim giờ chỉ đi được 1/12 vòng đồng hồ nên trong một giờ kim phút đi nhanh hơn kim giờ là: 1 – 1/12 = 11/12 vòng đồng hồ.

Như vậy đây là chính là dạng toán “Hai động tử chuyển động cùng chiều đuổi nhau” có khoảng cách ban đầu là 7/12 vòng đồng hồ và hiệu hai vận tốc là 11/12 vòng đồng hồ. Từ sự hướng dẫn, phân tích đó học sinh sẽ vận dụng và giải bài toán như sau:

Bài giải:

Trong một giờ kim phút đi được 1 vòng đồng hồ thì kim giờ sẽ đi được 1/12 vòng đồng hồ. Vậy hiệu vân tốc giữa kim phút và kim giờ là:

1 – 1/12 = 11/12 (vòng đồng hồ/giờ)

Lúc 7 giờ kim giờ cách kim phút 7/12 vòng đồng hồ.

Khoảng thời gian ngắn nhất để kim phút lại trùng với kim giờ là:

7/12 : 11/12 = 7/11 (giờ)

Đáp số: 7/11 giờ

Cách tính: Lấy khoảng cách giữa 2 kim chia cho hiệu vận tốc của chúng.

* Trường hợp 2: Khoảng cách giữa 2 kim bằng 0.

Bài toán: Bây giờ là 12 giờ, ít nhất sau bao lâu hai kim đồng hồ sẽ chập nhau ?

Phân tích: Ta nhận thấy lúc 12 giờ khoảng cách giữa hai kim là bằng 0 nên ta hướng dẫn học sinh giải theo các bước sau:

Bài giải:

Lúc 12 giờ, hai kim đồng hồ cùng chỉ vào số 12. Vì kim phút đi nhanh hơn kim giờ nên kim phút đi hết một vòng đồng hồ tức là 1 giờ mà hai kim vẫn chưa gặp nhau, lúc này là 1 giờ đúng.

Lúc 1 giờ kim phút chỉ vào số 12, kim giờ chỉ vào số 1. Khoảng cách lúc này giữa hai kim là 1/12 vòng đồng hồ.

Hiệu vận tốc của hai kim là:

1 – 1/12 =11/12 (vòng đồng hồ/giờ).

Kể từ lúc 1 giờ, thời gian để kim phút đuổi kịp kim giờ là:

1/12 : 11/12 = 1/11 (giờ)

Kể từ lúc 12 giờ, thời gian để hai kim chập nhau là:

1 + 1/11 = 12/11 (giờ)

Đáp số : 12/11 giờ

Cách tính: Lấy 1 cộng với số thời gian ít nhất để hai kim trùng khít lên nhau biết hiện tại lúc đó là 1 giờ đúng.

Dạng 2: Hai kim vuông góc với nhau

* Trường hợp 1: Khoảng cách giữa 2 kim nhỏ hơn hoặc bằng 1/4 vòng đồng hồ.

Bài toán: Hiện nay là 3 giờ. Hỏi sau ít nhất bao lâu nữa thì kim phút và kim giờ vuông góc với nhau ?

Phân tích:Lúc 3 giờ kim phút vuông góc với kim giờ nên khoảng cách giữa hai kim là 1/4 vòng đồng hồ. Để kim phút vuông góc với kim giờ một lần nữa thì kim phút phải đuổi kịp kim giờ và đi tiếp đến khi khoảng cách giữa hai kim là 1/4 vòng đồng hồ. Từ cách phân tích này ta có bài giải sau:

Bài giải:

Hiệu vân tốc giữa kim phút và kim giờ là:

1 – 1/12 = 11/12 (vòng đồng hồ/giờ)

Lúc 3 giờ khoảng cách giữa hai kim là 1/4 vòng đồng hồ. Vậy khoảng thời gian ngắn nhất để kim phút lại vuông góc với kim giờ là:

( 1/4+ 1/4) : 11/12 = 6/11 (giờ)

Đáp số: 6/11 giờ

Cách tính: Lấy khoảng cách giữa 2 kim cộng 1/4 rồi chia cho hiệu vận tốc của chúng.

* Lưu ý: Khi hướng dẫn học sinh trả lời câu hỏi: “Lúc đó kim phút đã đi hơn kim giờ đoạn đường bằng bao nhiêu ?” chúng ta cần lưu ý:

Đây là câu hỏi tương đối trừu tượng. Để học sinh dễ hình dung giáo viên nên cho học sinh quan sát hình vẽ để nhận thấy: Khi kim phút và kim giờ tiếp tục tạo với nhau một góc vuông thì kim phút đã chạy vượt lên gặp kim giờ. Tại thời điểm đó, kim phút đã đi hơn kim giờ một đoạn đường bằng KCBĐ (1/4 vòng đồng hồ) và 1/4 vòng đồng hồ nữa. Như vậy từ lúc 3 giờ đến khi kim phút và kim giờ vuông góc với nhau một lần nữa thì kim phút đã đi hơn kim giờ đoạn đường là: 1/4+ 1/4 = 1/2(vòng đồng hồ).

* Trường hợp 2: Khoảng cách giữa 2 kim lớn hơn 1/4 vòng đồng hồ và nhỏ hơn hoặc bằng 3/4 vòng đồng hồ.

Bài toán : Hiện nay là 5 giờ. Hỏi sau ít nhất bao lâu nữa thì kim phút và kim giờ vuông góc với nhau?

Phân tích: Lúc 5 giờ thì khoảng cách giữa hai kim là 5/12 vòng đồng hồ. Khi hai kim vuông góc với nhau thì khoảng cách giữa hai kim lúc này là 1/4 vòng đồng hồ. Do đó kim phút phải đi nhanh hơn kim giờ một đoạn đường đúng bằng 5/12 – 1/4= 1/6 vòng đồng hồ và lúc này hai kim sẽ vuông góc với nhau.

Bài giải:

Hiệu vân tốc giữa kim phút và kim giờ là:

1 – 1/12 = 11/12 (vòng đồng hồ/giờ)

Lúc 5 giờ kim giờ cách kim phút 5/12 vòng đồng hồ.

Khoảng thời gian ngắn nhất để kim phút vuông góc với kim giờ là:

(5/12 – 1/4) : 11/12 = 2/11 (giờ)

Đáp số: 2/11 giờ

Cách tính: Lấy khoảng cách giữa 2 kim trừ 1/4 rồi chia cho hiệu vận tốc của chúng.

* Trường hợp 3: Khoảng cách giữa 2 kim lớn hơn 3/4 vòng đồng hồ.

Bài toán :Hiện nay là 10 giờ. Hỏi sau ít nhất bao lâu nữa thì kim phút và kim giờ vuông góc với nhau ?

Phân tích: Với bài toán này ta hướng dẫn cụ thể như sau:

Học sinh quan sát hình vẽ mặt đồng hồ lúc 10 giờ và nhận xét:

Vào lúc 10 giờ, kim phút chỉ số 12, kim giờ chỉ số 10. Lúc này khoảng cách giữa kim phút và kim giờ (tính theo chiều kim đồng hồ) lúc đó là 5/6 vòng đồng hồ. Đến khi kim phút và kim giờ tạo với nhau một góc vuông thì khoảng cách giữa kim giờ và kim phút (tính theo chiều kim đồng hồ) là 1/4 vòng đồng hồ. Khi kim phút và kim giờ tạo với nhau một góc vuông thì khoảng cách từ kim phút đến kim giờ (tính theo chiều kim đồng hồ) là 3/4 vòng đồng hồ ( 1 – 1/4). Như vậy, khi kim phút và kim giờ tạo với nhau một góc vuông thì kim phút đã đi nhiều hơn kim giờ một đoạn đường bằng khoảng cách ban đầu trừ đi 3/4 vòng đồng hồ. Từ sự hướng dẫn phân tích đó học sinh sẽ dễ dàng giải được bài toán như sau:

Bài giải:

Lúc 10 giờ khoảng cách giữa hai kim (tính theo chiều kim đồng hồ) là 5/6 vòng đồng hồ.

Khi kim phút và kim giờ tạo với nhau thành một góc vuông thì khoảng cách từ kim giờ đến kim phút (tính theo chiều kim đồng hồ) là 1/4 vòng đồng hồ. Vậy khoảng cách từ kim phút đến kim giờ lúc này (tính theo chiều kim đồng hồ) là:

1 – 1/4 = 3/4 (vòng đồng hồ)

Trong khoảng thời gian đó thì kim phút đã đi nhiều hơn kim giờ là :

5/6 – 3/4 = 1/12 (vòng đồng hồ)

Hiệu vận tốc của hai kim là:

1 – 1/12 =11/12 (vòng đồng hồ/giờ).

Kể từ lúc 10 giờ, khoảng thời gian ngắn nhất để kim phút và kim giờ vuông góc với nhau là:

1/12 : 11/12 = 1/12 (giờ)

Đáp số : 1/12 giờ

Cách tính: Lấy khoảng cách giữa hai kim trừ 3/4 rồi chia cho hiệu vận tốc của chúng.

Dạng 3: Hai kim thẳng hàng với nhau

* Trường hợp 1: Khoảng cách giữa 2 kim nhỏ hơn hoặc bằng 1/2 vòng đồng hồ.

Bài toán: Bây giờ là 4 giờ. Hỏi thời gian ngắn nhất để hai kim đồng hồ thẳng hàng với nhau là bao nhiêu ?

Phân tích: Để hai kim đồng hồ thẳng hàng nhau thì kim phút và kim giờ phải cách nhau một khoảng là 6/12 vòng đồng hồ (hay 1/2 vòng đồng hồ).

Lúc 4 giờ khoảng cách ban đầu giữa kim phút và kim giờ là 1/3 vòng đồng hồ. Sau đó kim phút đuổi kịp kim giờ (trùng với kim giờ ), để hai kim thẳng hàng với nhau thì kim phút phải đi vượt kim giờ 1/2 vòng đồng hồ nữa .

Như vậy để hai kim thẳng hàng nhau thì kim phút phải đi nhiều hơn kim giờ một quãng đường bằng tổng khoảng cách ban đầu của hai kim và 1/2 vòng đồng hồ nữa.

Bài giải:

Hiệu vân tốc giữa kim phút và kim giờ là:

1 – 1/12 = 11/12 (vòng đồng hồ/giờ)

Lúc 4 giờ kim giờ cách kim phút 1/3 vòng đồng hồ. Từ lúc đuổi kịp kim giờ, muốn hai kim thẳng hàng với nhau thì kim phút phải đi vượt kim giờ 1/2 vòng đồng hồ nữa. Như vậy, kể từ lúc 4 giờ tới lúc hai kim thẳng hàng với nhau thì kim phút phải đi nhiều hơn kim giờ là:

1/3+ 1/2 = 5/6 (vòng đồng hồ)

Sau ít nhất bao lâu hai kim thẳng hàng với nhau là:

5/6 : 11/12 = 10/11 (giờ)

Đáp số: 10/11 giờ

Cách tính: Lấy khoảng cách giữa 2 kim cộng 1/2 rồi chia cho hiệu vận tốc giữa chúng.

* Trường hợp 2: Khoảng cách giữa 2 kim lớn hơn 1/2 vòng đồng hồ.

Bài toán : Bây giờ là 10 giờ. Hỏi khi kim phút và kim giờ tạo với nhau thành một đường thẳng thì lúc đó là mấy giờ ?

Phân tích: Lúc 10 giờ khoảng cách ban đầu tính từ kim phút đến kim giờ 5/6 vòng đồng hồ. Đến khi kim phút và kim giờ tạo với nhau thành một đường thẳng khoảng cách giữa kim phút và kim giờ là 1/2 vòng đồng hồ. Khi kim phút và kim giờ tạo với nhau thành một đường thẳng thì kim phút đã đi hơn kim giờ đoạn đường bằng 5/6 – 1/2 = 1/3 vòng đồng hồ. Ta có bài giải sau:

Bài giải:

Hiệu vân tốc giữa kim phút và kim giờ là:

1 – 1/12 = 11/12 (vòng đồng hồ/giờ)

Lúc 10 giờ kim giờ cách kim phút 5/6 vòng đồng hồ. Để hai kim đồng hồ thẳng hàng nhau thì kim phút và kim giờ phải cách nhau một khoảng là 1/2 vòng đồng hồ. Như vậy, từ lúc 10 giờ đến khi hai kim thẳng hàng với nhau thì kim phút đã đi nhiều hơn kim giờ là :

5/6 – 1/2 = 1/3 (vòng đồng hồ)

Kể từ lúc 10 giờ, thời gian để kim phút và kim giờ thẳng hàng nhau là:

1/3 : 11/12 = 4/11 (giờ)

Lúc đó là:

10 + 4/11 = 114/11 (giờ)

Đáp số: 114/11 giờ

Cách tính: Lấy khoảng cách giữa 2 kim trừ 1/2 rồi chia cho hiệu vận tốc giữa chúng.

Dạng 4: Hai kim chuyển động đổi chỗ cho nhau

Bài toán : Lan ngồi làm bài văn cô giáo cho về nhà. Khi Lan làm xong bài thì thấy vừa lúc hai kim đồng hồ đã đổi chỗ cho nhau. Hỏi Lan làm bài văn hết bao nhiêu phút ?

Phân tích: Khi hai kim đồng hồ đổi chỗ cho nhau thì kim phút đã đi được một quãng đường từ vị trí của kim phút đến vị trí của kim giờ, còn kim giờ thì đi được một quãng đường từ vị trí của kim giờ đến vị trí của kim phút. Như vậy tổng quãng đường hai kim đã đi đúng bằng một vòng đồng hồ. Như vây muốn tính được thời gian hai kim đổi chỗ cho nhau ta lấy tổng quãng đường hai kim đã đi chia cho tổng vận tốc của hai kim.

Bài giải:

Từ khi Lan bắt đầu làm bài cho đến khi hai kim đổi chỗ cho nhau thì kim phút đã đi được một quãng đường từ vị trí của kim phút đến vị trí của kim giờ còn kim giờ thì đi được một quãng đường từ vị trí của kim giờ đến vị trí của kim phút. Như vậy tổng quãng đường hai kim đã đi đúng bằng một vòng đồng hồ.

Mỗi giờ kim phút đi được 1 vòng đồng hồ còn kim giờ chỉ đi được 1/12 vòng đồng hồ nên tổng vận tốc của hai kim là:

1 + 1/12 =13/12 (vòng đồng hồ/giờ).

Thời gian Lan làm xong bài văn là:

1 : 13/12 = 12/13 (giờ)

Đáp số: 12/13 giờ

Cách tính: Ta lấy 1 chia cho tổng vận tốc của hai kim.

(Nguyễn Thị Bích Thủy – GV Trường Tiểu học Hậu Lộc – Lộc Hà)

Cùng chuyên đề:

<< 30 chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán lớp 5168 bài toán lớp 5 chọn lọc có đáp án >>

Dạng toán chuyển động của kim đồng hồ